2015考研数学考试分析之寻根究底篇

学了这么多年的数学,估计各位考生都有所体会:学数学,每个知识点都需要透彻理解,不然就会影响后续课程的学习,影响考试成绩。所以理想的状态应该是把每个考点弄清想透,这样就能轻松应对考试了。但现实中有太多约束条件了,如每位考生情况各异——个人禀赋、基础、方法各不相同,如考点中有“难点”、“重点”和“常考点”。所以理想状态很难达到。如何应对?下面一起来和小编看看吧~

我们以“秩”这个让考生百感交集的概念为例,说明什么是“寻根究底”,再梳理考研数学中的一些需要寻根究底的考点,留待考生自己思考并补充完整。

首先要搞清楚秩是什么?线性代数中有两个秩:一个矩阵的秩,一个向量组的秩。矩阵的秩是矩阵非零子式的最高阶数。一个矩阵的秩为k意味着什么?要会“翻译”。“直接翻译”的结论是矩阵非零子式的最高阶数为k。只会“直接翻译”还不足以应对考题,还得会“间接翻译”:该矩阵存在k阶非零子式,并且该矩阵不存在k+1阶非零子式。再进一步思考:前半句话用秩的语言怎么描述?应为r(A)>=k;后半句话用秩的语言怎么描述?应为r(A)<=k。再思考:该矩阵不存在k+1阶非零子式包含几种情况?应有两种情况:1)矩阵存在k+1阶子式,但k+1阶子式全为0;2)矩阵不存在k+1阶子式(如矩阵是k阶方阵)。这样关于矩阵的秩的概念才理解到位了,但还需多做题才能达到熟练。

类似地,我们可以对“向量组的秩”这个概念做层层剖析。首先,向量组的秩是向量组的极大线性无关组所含向量的个数。什么是极大线性无关组?顾名思义即个数最多的线性无关的子向量组。但是严格的数学定义必不可少。这个地方提到一个问题:有同学对于比较抽象的概念比较头疼,试图抛开严格的数学表述,而通过举例子等方式理解,这样可以吗?不行。举例子确实有助于理解,但代替不了严格的数学表述。其实,定义理解好了,方法就是自然而然的了。考生可以思考相关问题:如极大无关组是否唯一?如果不唯一,那它们是什么关系?

还可以继续思考矩阵的秩和向量组的秩的关系。任给一个矩阵A,矩阵可以按列分块,也可以按行分块,这样我们可以得到三个秩——矩阵的秩,矩阵的列向量组的秩和矩阵的行向量组的秩。这三个秩是什么关系?结论是相等。这个结论不需要证明,会用即可。

下表供考生思考并补充完整。
 

考点

是什么

为什么

怎么用

易错点

单调有界必有极限定理

       

导数定义

       

导数的应用

       

三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)

       

泰勒中值定理

       

广义积分收敛性的判断

       

二元函数可微性判断

       

格林公式

       

高斯公式

       

抽象级数敛散性判断

       

正项级数判别法

       

幂级数求和展开

       

傅里叶级数(数学一)

       

       

抽象向量组线性相关性的判定

       

抽象向量组线性表出的判定

       

抽象线性方程组求通解

       

aE-A型秩的讨论

       

矩阵合同的判定

       

二次型的惯性指数

       

正定二次型的判定

       

独立与互斥的关系

       

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