函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。
基础阶段:
1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系;
2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式;
3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质;
4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题;
强化阶段:
1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示;
2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。
冲刺阶段:
1.综合应用函数解决相关的问题;
2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分),并会讨论它们的相关性质。
第二节:极限
极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果
基础阶段
1.了解极限的概念及其主要的性质。
2.会计算一些简单的极限。
3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。
强化阶段:
1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二)/了解数列极限和函数极限的概念(数三);
▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式);
3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数);
4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二)/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三)。
冲刺阶段:
深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分)与极限之间的关系,建立完整的理论体系。
函数与极限的基本公式与定理
1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界,K1为下界;如果有f(x)≤K2,则有上界,K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界,那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界,却不能断定数列{xn}一定收敛,例如数列1,-1,1,-1,(-1)n+1…该数列有界但是发散,所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列{xn}是发散的,如数列1,-1,1,-1,(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1,{xnk}收敛于-1,{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。< p="">
定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A,而且A>0(或A<0),就存在着点那么x0的某一去心邻域,当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0),反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等,即f(x0-0)=f(x0+0),若不相等则limf(x)不存在。
一般的说,如果lim(x→∞)f(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞,则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x),而limF1(x)=a,limF2(x)=b,那么a≥b.
5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件:yn≤xn≤zn且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,对于函数该准则也成立。
单调有界数列必有极限。
6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果函数f(x)当x→x0时的极限存在,且等于它在点x0处的函数值f(x0),即lim(x→x0)f(x)=f(x0),那么就称函数f(x)在点x0处连续。
不连续情形:1、在点x=x0没有定义;2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在;3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在,但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。
如果x0是函数f(x)的间断点,但左极限及右极限都存在,则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点,不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。
定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。
定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续,那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。
定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。
定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点ξ(a<ξ< p="">
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。