高等代数2021年考试大纲

适用于数学一级学科硕士研究生招生入学考试。要求考生熟悉高等代数的基本概念、掌握基本定理与方法、有较强的运算能力和综合分析解决问题能力。考查的知识要点如下：

1．多项式：数域概念，一元多项式运算法则；带余除法定理，最大公因式概念及求法(辗转相除法)；不可约多项式概念和因式分解唯一性定理；重因式、余数定理，零点(根)定理；复/实系数多项式的因式分解定理；有理系数多项式、整系数多项式和本原多项式的概念、性质及相互关系，整系数多项式的有理根的求法，Eisenstein判别法

2．行列式：排列及对换的概念，排列奇偶性的概念及判定；行列式的定义、性质及计算方法；行列式按一行（列）展开，代数余子式，范德蒙德(Vandermonde)行列式；矩阵的定义和初等行、列变换，矩阵与行列式的区别；克拉默(Cramer)法则及应用。

3．线性方程组：线性方程组的高斯(Gauss)消元法；向量空间、线性相关、线性无关的概念与性质；矩阵的k级子式，矩阵秩的定义、性质及求法，向量组的极大线性无关组的求法；线性方程组有解的判定、线性方程组解的结构。

4．矩阵：矩阵的基本运算，矩阵乘积的行列式与秩；矩阵的逆的定义、性质及求法；矩阵分块的概念和分块矩阵的运算，初等矩阵、初等变换与矩阵的秩，分块乘法的初等变换及应用。

5．二次型：二次型的矩阵表示，矩阵的合同关系，对称矩阵的概念和性质；用非退化线性变换化二次型为标准形，实、复二次型的规范型，惯性定理与惯性指数；正定、半正定二次型的概念、性质及判别方法。

6．线性空间：集合、映射的定义与运算性质；线性空间的定义与简单性质；维数、基与坐标的概念和性质，基变换与坐标变换；线性子空间的概念和性质，子空间的交与和的概念及性质，子空间的直和的定义及判别准则；线性空间的同构，同构映射的概念和性质。

7．线性变换：线性变换的定义、运算及其简单性质；线性变换的矩阵及其性质；矩阵的相似关系的定义及其性质；特征多项式、特征值与特征向量的定义、性质及计算；线性变换在某一组基下的矩阵为对角矩阵的条件（即矩阵相似于对角矩阵的条件）；线性变换的值域与核的概念及性质；不变子空间的概念，不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系；若当（Jordan）标准形的概念及应用；最小多项式的概念和性质及求法。

8．λ-矩阵：λ-矩阵的定义及其秩、逆和初等变换；λ-矩阵在初等变换下的标准形；行列式因子、不变因子和初等因子的定义、性质及求法；矩阵相似的条件；复矩阵若当（Jordan）标准形的计算。

9．欧几里得空间：欧几里得空间（含内积）的定义与基本性质；欧几里得空间中基的度量矩阵，正交向量组、正交基、标准正交基的定义、基本性质及相互关系，施密特正交化方法；欧几里得空间的同构；正交变换、正交矩阵的定义和性质；子空间的正交关系；对称变换、实对称矩阵的性质及其标准形的求法；酉空间的概念和性质。

参考书目：北京大学数学系前代数小组编，王萼芳，石生明修订，高等代数(第五版)，高等教育出版社，2019年5月。

原文标题：高等代数2021年考试大纲

原文链接：http://math.xtu.edu.cn/a491.html

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