湖北文理学院数学专业学术硕士初试考试科目

 

《数学分析》考试大纲

 

考试科目：数学分析科目代码：601

 

一、考试性质

 

本考试大纲适用于报考湖北文理学院数学专业硕士研究生入学考试的初试。《数学分析》是为招收数学专业硕士研究生而设置的具有选拔功能的水平考试。其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具有继续攻读硕士学位所具备的分析基础知识、一般能力和培养潜能。应考人员应根据本大纲的内容和要求，自行组织学习内容和掌握有关知识。

 

二、考试要求

 

要求考生熟悉数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法，具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力和分析运算能力，并能综合运用所学知识解决各种类型的问题，以便为以后继续学习和从事科研奠定坚实的分析基础。

 

三、考试形式与试卷结构

 

1、试卷满分及考试时间

 

本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

 

2、答题方式

 

答题方式为闭卷、笔试。

 

3、试卷题型

 

选择题、填空题、计算题、证明题、综合题等。

 

四、考试内容和考试要求

 

（一）极限与连续

 

考试内容：确界、函数；数列极限；函数极限；函数的连续性；实数的完备性。

 

考试要求：理解确界概念、确界原理和函数概念；掌握确界及函数的简单运算；掌握数列极限和函数极限的概念和基本性质；会用极限的概念验证数列极限、函数极限；会运用极限四则运算法则、迫敛性（夹逼准则）、单调有界定理、两个重要极限、等价无穷小等讨论极限问题；掌握函数连续性的概念；会判别函数间断点的类型；理解闭区间上连续函数的性质，会应用这些性质来证明一些简单问题；掌握函数在某区间上是一致连续或非一致连续的方法，会验证简单函数的一致连续性；理解实数集完备性的几个基本定理和基本定理等价性的证明的方法，会利用实数完备性的基本定理证明有关命题。

 

（二）一元函数微分学

 

考试内容：导数；微分；微分中值定理；微分中值定理的应用。

 

考试要求：熟练掌握导数的概念，了解导数的几何意义；掌握函数可导性与连续性之间的关系；熟练掌握函数的求导法则，熟记基本初等函数的求导公式；掌握隐函数、由参数方程确定函数的求导方法；会熟练计算各种函数的导数；了解高阶导数的概念，能够计算简单函数的高阶导数；理解微分的概念，掌握导数与微分间的关系；了解函数一阶微分形式的不变性，会熟练求函数的微分；熟练掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理，会应用中值定理证明不等式等；熟练掌握洛必达法则，会用洛必达法则求不定式极限；理解泰勒定理，了解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式，熟记六个常见函数的麦克劳林公式，会进行简单的展开；熟练掌握函数单调性、极值和凹凸性的判别方法，会求函数的单调区间、极值和凹凸区间，并能进行简单的应用；会求函数图形的拐点和渐近线。

 

（三）一元函数积分学

 

考试内容：不定积分；定积分；定积分的应用；反常积分。

 

考试要求：理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式；熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法；掌握有理函数的不定积分、三角函数有理式的不定积分、某些无理根式的不定积分；能够熟练计算不定积分；掌握定积分的概念、几何意义；熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式；掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理，会应用其证明一些简单问题；理解可积函数类及其证明；了解变限积分的概念，会求变限积分的导数；掌握定积分的换元积分法及分部积分法，能够熟练计算定积分；能够应用定积分的几何意义或者利用函数的奇偶性计算定积分；了解定积分的微元法；会利用定积分计算平面图形的面积（包括参量方程及极坐标方程概念的平面图形）、平面曲线的弧长（直角坐标系、参数方程、极坐标系）、平行截面面积已知的立体和旋转体的体积；理解两类反常积分的收敛与发散；熟练掌握反常积分绝对收敛和条件收敛的判定方法，会判别反常积分的敛散性。

 

（四）多元函数微分学

 

考试内容：二元函数的极限和连续；偏导数、高阶偏导数、全微分；隐函数存在定理、隐函数求导法；多元函数微分学的几何应用（空间曲线的切线与法平面、空间曲面的切平面与法线、方向导数和梯度）；多元函数的极值与最值。

 

考试要求：了解多元函数的概念，会求二元函数的概念域；了解二元函数极限的概念，熟悉判别极限存在性的基本方法，会求简单二元函数的极限，会判断二元函数极限不存在；理解二元函数连续的概念，会判断二元函数的连续性；熟练掌握二元函数的偏导数、可微性与全微分的概念；了解可微的必要与充分条件，掌握多元函数连续、偏导存在、可微之间的关系；熟练掌握偏导数及高阶偏导数的计算方法，会求多元函数的偏导数、高阶偏导数和全微分；熟练掌握二元函数极值和最值的求解，会求函数的极值和最值，并能解决简单的实际问题；了解隐函数存在唯一性定理和隐函数组定理；熟练掌握求隐函数（组）偏导数及高阶偏导数的方法，会求隐函数（组）偏导数及高阶偏导数；掌握多元函数微分学的几何应用（空间曲线的切线与法平面、空间曲面的切平面与法线、方向导数与梯度），会求空间曲线的切线与法平面方程、空间曲面的切平面与法线方程、方向导数与梯度。

 

（五）多元函数积分学

 

考试内容：二重积分；三重积分；第一（二）型曲线积分；曲线积分与路径无关的条件；第一（二）型曲面积分；高斯公式和斯托克斯公式；含参变量正常积分、含参变量反常积分。

 

考试要求：掌握二、三重积分的计算方法，会熟练计算二、三重积分；掌握格林公式以及曲线积分与路径无关的条件，会用格林公式以及曲线积分与路径无关的条件计算曲线积分；理解两类曲线积分的概念；掌握两类曲线积分的计算方法，会熟练计算两类曲线积分；理解两类曲面积分的概念；掌握计算两类曲面积分的方法，会熟练计算两类曲面积分；熟练掌握高斯公式，并进行简单的应用；理解斯托克斯公式；理解含参变量正常积分的概念与性质；掌握含参变量正常积分的导数的计算公式；掌握含参变量反常积分一致收敛的判别方法，会证明含参变量反常积分的一致收敛性。

 

（六）无穷级数

 

考试内容：数项级数；函数项级数；幂级数；傅里叶级数。

 

考试要求：了解数项级数收敛性的概念和基本性质，掌握级数收敛的必要条件；熟练掌握正项级数敛散性的判别法（比较判别法，比值判别法，根植判别法与积分判别法），会准确判断正项级数的敛散性；掌握交错级数的莱布尼茨判别法；掌握任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系，会判断任意项级数的绝对收敛和条件收敛；熟练掌握用概念及判别法判断函数列、函数项级数的一致收敛性，并会进行验证；掌握阿贝尔定理，会求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域；了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数；掌握一些基本初等函数的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数；了解傅里叶级数概念和收敛定理；能够将比较简单的函数展开为傅里叶级数。

 

五、参考书目

 

《数学分析》（第五版）：华东师范大学数学科学学院编，高等教育出版社，2019年