2023考研大纲:湖南理工学院2023年硕士研究生入学考试自命题科目《数学综合(实变函数、近世代数)》考试大纲

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2023年硕士研究生入学考试跨专业考生加试科目考试大纲
 
考试科目代码:[J212]
 
考试科目名称:数学综合(实变函数、近世代数)
 
一、考核目标
 
主要考察考生是否掌握了实变函数和近世代数的基本概念、基本理论和基本方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
 
二、试卷结构
 
(一)试卷成绩及考试时间:满分为100分,考试时间为60分钟。
 
(二)答题方式:闭卷、笔试。
 
(三)试卷内容及比例:实变函数(占50%);近世代数(占50%)。
 
(四)题型:解答题、证明题。
 
三、考试内容
 
(一)实变函数部分(占50%,50分)
 
1、集合的基本运算;集合序列的上、下限集。集合的势的定义,势的性质,势的比较。常见集合的势及其基本性质;
 
2、n维空间中集合的内点、边界点、聚点、开集、闭集等概念,明确开集的构造.理解完备集的概念,特别要掌握Cantor集;
 
3、外测度概念,外测度与体积的关系,可测集的定义及其性质,包括可测集经交、并、差运算后的可测性,可数个可测集的交集或并集的可测性、可数可加性以及可测集序列的极限之可测性。Borel集类;Lebesgue可测集的结构;
 
4、可测函数的概念,可测函数的特征性质,简单函数的有关性质。掌握“几乎处处收敛”与“测度收敛”以及“近一致收敛”的概念和它们之间的关系;
 
5、一般可测函数积分的定义,Lebesgue积分与广义Riemann积分的异同,一般可测函数积分的性质。Riemann可积性与Lebesgue可积性之间的关系。Lebesgue积分的极限定理,包括Levi定理、Fatou引理、Lebesue控制收敛定理及其应用,Riemann可积的充要条件。掌握L积分的概念,理解L积分和R积分的关系.掌握L积分的性质,对有关L积分的三个极限定理及其应用。主要考察考生是否掌握了实变函数的基本概念、基本理论和基本方法,包括集合的势与对等、Borel集类、Lebesgue测度、可测函数、可测函数的收敛、Lebesgue积分等的基本概念;集合序列的上下限集、可测集经交并差运算、Lebesgue积分等的计算方法,Cantor集的构造、可测函数“几乎处处收敛”与“测度收敛”以及“近一致收敛”之间的关系,Lebesgue积分与广义Riemann积分的异同,一般可测函数积分的性质。Riemann可积性与Lebesgue可积性之间的关系,Lebesgue积分的极限定理等;以及是否具备运用基本理论和基本方法,分析解决问题的能力。
 
(二)近世代数部分(占50%,50分)
 
1、基本概念:单(满)射的概念与刻画,代数运算的概念与算律,等价关系与集合分类的概念与相互关系。
 
2、群:半群,群,元素的阶,循环群,变换群,置换群,子群,子群的陪集,正规子群,商群,同态基本定理与同构定理。
 
3、环与域:环的概念,子环,理想与商环,同态基本定理,同构定理,素理想与极大理想,商域,多项式环。
 
4、整环里的因子分解:不可约元,素元,最大公因子,唯一分解环,主理想环、欧氏环.
 
四、参考教材
 
1、程其襄等.实变函数与泛函分析基础(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2010.
 
2、郑维行、王声望.实变函数与泛函分析概要(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2005.
 
3、张禾瑞,近世代数基础[M].北京:高等教育出版社,1997年.
 
4、朱平天,李伯葓,邹园,近世代数(第二版)[M].北京:科学出版社,2009.
 
原文标题:湖南理工学院2023年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲
 
原文链接:https://xk.hnist.cn/info/1040/7226.htm
 
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