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2023年硕士研究生入学考试自命题考试大纲
考试科目代码：[F105]
考试科目名称：数学基础综合
一、考核目标
要求考生系统地理解数学分析与高等代数概念、基本理论和基本方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
二、试卷结构
（一）试卷成绩及考试时间：满分为100分，考试时间为60分钟。
（二）答题方式：闭卷、笔试
（三）试卷内容及比例：数学分析部分：占60%；高等代数部分：占40%。
（四）题型：解答题、证明题。
三、考试内容
（一）数学分析部分（占60%，60分）
1、函数、极限、连续
考试内容
函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立。
数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限及其应用。
函数连续的概念，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质及其证明。
考试要求
（1）理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
（2）了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
（3）理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
（4）掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
（5）理解极限的概念。
（6）掌握极限的性质及四则运算法则。
（7）掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
（8）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
（9）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）。
（10）掌握闭区间上连续函数的性质，并了解其证明。
2、一元函数微分学
考试内容
导数和微分的概念，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性，微分中值定理及其应用，洛必达（L’Hospital）法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数的最大值与最小值
考试要求
（1）理解导数和微分的概念，函数的可导性与连续性之间的关系，导数与微分的关系，导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程。
（2）熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
（3）了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
（4）会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
（5）理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解柯西(Cauchy)中值定理。
（6）掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
（7）理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。
（8）会用导数判断函数图形的凹凸性
3、一元函数积分学
考试内容
原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，积分上限的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分，定积分的应用。
考试要求
（1）理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。
（2）掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，换元积分法与分部积分法。
（3）掌握牛顿-莱布尼茨公式，会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
（4）理解积分上限的函数，会求它的导数。
（5）了解反常积分的概念，会计算反常积分。
（6）掌握用定积分表达和计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。
4、多元函数微分学
考试内容
多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上多元连续函数的性质，多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用。
考试要求
（1）理解多元函数的概念，多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分。
（2）掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
（3）了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。
（4）理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
5、多元函数积分学
考试内容
二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，
考试要求
（1）理解二重积分与三重积分的概念及其性质，了解二重积分的中值定理。
（2）掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。
（3）掌握三重积分的计算方法（直角坐标、柱坐标、球坐标）。
6、无穷级数
考试内容
常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p级数及其收敛性，正项级数收敛性的判别法，交错级数与莱布尼茨定理，幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式。
考试要求
（1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
（2）掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。
（3）掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法和柯西（Cauchy）积分判别法。
（4）掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
（5）理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
（6）了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
（7）掌握ex，sinx，ln(1+x)，及(1+x)a的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数。
（二）高等代数（占40%，40分）
1、多项式
考试内容
数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式。
考试要求
（1）掌握数域的定义，理解数域P上一元多项式的定义，次数，一元多项式环等概念，掌握多项式的运算及运算律。
（2）理解整除的定义，熟练掌握带余除法及整除的性质。
（3）理解和掌握两个（或若干个）多项式的最大公因式，互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。
（4）掌握不可约多项式的定义及性质。了解因式分解定理。
掌握多项式函数的概念，余数定理，多项式的根及性质。理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。
2、行列式
考试内容
排列，n阶行列式的定义，n阶行列式的性质，n阶行列式的展开，行列式的计算，克拉默(Cramer)法则，行列式的乘法规则。
考试要求
（1）掌握排列、逆序数、奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。
（2）掌握行列式的基本性质，理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式。
（3）理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。
（4）掌握克拉默(Cramer)法则，
3、线性方程组
考试内容
消元法，n维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构。
考试要求
（1）掌握一般线性方程组，方程组的解，增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。
（2）掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算规律和性质。
（3）理解线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价的定义及等价性质定理。理解向量组的极大无关组、秩的定义，并会求向量组的一个极大无关组。
（4）掌握矩阵的行秩、列秩，以及矩阵的秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系。
（5）掌握线性方程组的有解判别定理，掌握线性方程组的公式解。
（6）理解齐次线性方程组的基础解系。掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。并对有解的一般线性方程组，会求其全部解。
4、矩阵
考试内容
矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，分块乘法的初等变换及应用。
考试要求
（1）掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律。
（2）掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。
（3）掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。
（4）理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。
（5）掌握初等矩阵、初等变换等概念及它们之间的关系，掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。
（6）理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。
5、二次型
考试内容
二次型的矩阵表示，标准型，正定（半正定）二次型。
考试要求
（1）正确理解二次形和非退化线性替换的概念，掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系，掌握矩阵的合同概念及性质。
（2）理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的两种基本方法。
（3）理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性，了解符号差、惯性指数等概念，理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念，熟练掌握正定二次型（半正定二次型）的若干等价条件。
6、线性变换
考试内容
线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核。
考试要求
（1）掌握线性变换的定义及性质，线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。
（2）掌握线性变换与矩阵的联系，矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。
（3）理解矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质，会求一个矩阵的特征值和特征向量，掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密顿-凯莱定理。
7、欧几里德空间
考试内容
定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，实对称矩阵的相似标准形，向量到子空间的距离。
考试要求
（1）理解欧氏空间的定义及性质，内积的本质，掌握向量的长度，两个向量的夹角、单位向量、正交及度量矩阵等概念和基本性质，各种概念之间的联系和区别。
（2）理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。
（3）理解正交变换的概念及几个等价关系，掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。
（4）理解两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及有限维欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。
（5）掌握任一个实对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，求正交阵的方法，能用正交变换化实二次型为标准型。
参考文献
[1]华东师范大学数学科学学院.数学分析（上、下册）[M].北京：高等教育出版社，2019.
[2]刘玉琏，傅沛仁，刘伟，林玎.数学分析讲义(上、下册)[M].北京：高等教育出版社，2019.
[3]北京大学数学系前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2013.
[4]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.
原文标题：湖南理工学院2023年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲
原文链接：https://xk.hnist.cn/info/1040/7226.htm
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