桂林理工大学2020年硕士研究生入学考试试题（A卷）
考试科目代码：874
考试科目名称：概率统计
（总分150分，三小时答完）
考生注意：1．请将答题写在答卷纸上，写在试卷上视为无效。
2．考试需带 用具
一 、填空题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）
1．有两个袋子，每个袋子都装有只黑球，只白球。从第一个袋子中任取1只球放入第二个袋子中，充分混合后再从第二个袋子中任意取出1只球。则从第二个袋子中取得的是黑球的概率 。（注：每个袋子中的球只有颜色差别，其它特征均相同）
2．已知，，，则 。
3．已知为连续型随机变量，概率密度函数为，为的分布函数，为的数学期望，则概率 。
4．已知随机变量的概率密度函数为，其中参数，。则常数 ；的期望 。
5．设随机变量，且与相互独立。则 。
6．设随机变量服从均匀分布，，则的概率密度函数 。
7．某厂要从供应商处购进元件，双方协商的验货规则是：每批货随机地抽取5只进行检验，若抽检的5只中的不合格品数不超过1，则该厂应接收这批货，其它情况则作退货处理。若一批元件中有20%的为不合格品，则该厂接收这批货的概率为 。（结果保留4位小数）
8．某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p (0<p<1)，则此人第四次射击恰好第二次命中目标的概率为 。
9．已知总体，是来自总体的简单随机样本。若统计量服从的分布为，则常数 。
二、计算解答题（本大题共9小题，共105分）
1（本小题11分）．某城市的K1和K2两路公交车相互独立地开行，都经过站点A后开往同一终点站B。已知K1路公交车每隔5分钟、K2路公交车每隔6分钟经过站点A。某乘客在任意时刻到达站点A乘坐K1或K2路公交车去往终点站B。试计算该乘客在站点A的候车时间不超过4分钟的概率。
2（本小题12分）．设随机变量的绝对值不大于1，，，在事件“”出现的条件下，在区间内的任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。求：（I）的分布函数；（II）取负值的概率；（III）的期望。
3（本小题10分）．加工某种零件需要经过两道工序。第一道工序出现一等品的概率为0.9，出现二等品的概率为0.1；第一道工序加工完成后的一等品，在第二道工序中出现一等品的概率为0.8、出现二等品的概率为0.2；第一道工序加工完成后的二等品，在第二道工序中出现二等品或出现废品的概率都是0.5。分别求经过两道工序加工完成后的零件是一等品、二等品、废品的概率。
4（本小题10分）．设二维随机向量服从正方形区域上的均匀分布，求的概率密度函数。
5（本小题15分）．设随机变量的概率密度函数为。（I）确定常数；（II）判断的相互独立性；（III）求期望。
6（本小题10分）．设二维随机向量的概率密度函数为求与的协方差和相关系数。
7（本小题10分）．某种元件的寿命取（以小时为单位）服从正态分布，，均未知。现抽取16个这种元件，测得样本均值为241.5小时，样本标准差为98.73小时。请问在0.05的显著性水平之下，是否有充分理由认为元件的平均寿命大于225小时？（已知-分布的上侧分位数，，，）
8（本小题12分）．对一批LED灯泡进行使用寿命的检验，随机抽取100只组成抽检样本，测得此样本的平均寿命为2000小时、标准差为50小时。（I）在95.45%的置信水平下，估计这批灯泡的平均寿命的置信区间；（II）如果取置信区间的长度等于30，即最大容许误差为15小时，此时这个区间估计的置信度是多少（置信度用百分数表示，结果保留2位小数）？（已知标准正态分布的上侧分位数；标准正态分布的分布函数值）。
9（本小题15分）．设总体的概率密度函数为其中和均为未知参数且，。已知为来自该总体的简单随机样本。求：（I）参数、的最大似然估计量；（II）参数、的矩估计量。
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原文标题：2020年考研真题
原文链接：https://yjsy.glut.edu.cn/info/1189/4400.htm
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